11  DAGs

11.1 Aufgabe 1

Gegeben sei der DAG g (s. u.). Der DAG verfügt über Variablen, die als Knoten im Graph dargestellt sind (mit \(x_1, x_2, \ldots x_n\) bezeichnet) und über Kanten verbunden sind.

Welche minimale Variablenmenge muss kontrolliert werden, um den kausalen Effekt von der UV zur AV zu identifizieren?

UV: y3.

AV: y4.

Hinweise:

  • Mengen sind mittels geschweifter Klammern gekennzeichnet, z.B. {x8, x9} meint die Menge mit den zwei Elementen x8 und x9.
  • Die leere Menge { } bedeutet, dass keine Variable kontrolliert werden muss, um den kausalen Effekt zu identifizieren.
  • Alle Variablen werden als gemessen vorausgesetzt.
  • Es ist möglich, dass es keine Lösung gibt, dass es also keine Adjustierungsmenge gibt, um den kausalen Effekt zu identifizieren. Wenn dies der Fall sein sollte, wählen Sie “keine Lösung”.
  • Es ist möglich, dass einzelne Variablen keine Kanten besitzen, also keine Verbindung zu anderen Variablen (Knoten) haben.

Answerlist

  • {y1, y2}

  • { }

  • ?

  • {y2}

  • {y5, y1}

Richtige Antwort ist: {y2}

Es gibt einen direkten kausalen Pfad. Es führt ein Confounder Pfad über x2 und einer über x1 und x2. Für ersteres wäre x2 der Confounder, für den zweiten Pfad wäre x1 der Confounder. Da beide Pfade über x2 führen, reicht es nur x9 zu kontrollieren.

Und weil viele nachgefragt hatten: {y1} muss nicht kontrolliert werden, weil auf diesem Pfad gar kein Confounder vorliegt. Deshalb müssen wir diesen Pfad auch nicht schließen.

11.2 Aufgabe 2

Gegeben sei der DAG g (s. u.). Der DAG verfügt über Variablen, die als Knoten im Graph dargestellt sind (mit \(x_1, x_2, \ldots x_n\) bezeichnet) und über Kanten verbunden sind.

Welche minimale Variablenmenge muss kontrolliert werden, um den kausalen Effekt von der UV zur AV zu identifizieren?

UV: x4.

AV: x6.

Hinweise:

  • Mengen sind mittels geschweifter Klammern gekennzeichnet, z.B. {x8, x9} meint die Menge mit den zwei Elementen x8 und x9.
  • Die leere Menge { } bedeutet, dass keine Variable kontrolliert werden muss, um den kausalen Effekt zu identifizieren.
  • Alle Variablen werden als gemessen vorausgesetzt.
  • Es ist möglich, dass es keine Lösung gibt, dass es also keine Adjustierungsmenge gibt, um den kausalen Effekt zu identifizieren. Wenn dies der Fall sein sollte, wählen Sie “keine Lösung”.
  • Es ist möglich, dass einzelne Variablen keine Kanten besitzen, also keine Verbindung zu anderen Variablen (Knoten) haben.

Answerlist

  • {x2}

  • { }

  • {x3}

  • {x6, x1}

  • {x1, x2}

Richtige Antwort ist: {x1, x2}

Es führt sowohl ein Konfundierungspfad über x1 (ohne dabei über x2 zu gehen) als auch einer über x2 (ohne dabei über x1 zu gehen).

11.3 Aufgabe 3

Gegeben sei der DAG g (s. u.). Der DAG verfügt über Variablen, die als Knoten im Graph dargestellt sind (mit \(x_1, x_2, \ldots x_n\) bezeichnet) und über Kanten verbunden sind.

Welche minimale Variablenmenge muss kontrolliert werden, um den kausalen Effekt von der UV zur AV zu identifizieren?

UV: x5.

AV: x6.

Hinweise:

  • Mengen sind mittels geschweifter Klammern gekennzeichnet, z.B. {x8, x9} meint die Menge mit den zwei Elementen x8 und x9.
  • Die leere Menge { } bedeutet, dass keine Variable kontrolliert werden muss, um den kausalen Effekt zu identifizieren.
  • Alle Variablen werden als gemessen vorausgesetzt.
  • Es ist möglich, dass es keine Lösung gibt, dass es also keine Adjustierungsmenge gibt, um den kausalen Effekt zu identifizieren. Wenn dies der Fall sein sollte, wählen Sie “keine Lösung”.
  • Es ist möglich, dass einzelne Variablen keine Kanten besitzen, also keine Verbindung zu anderen Variablen (Knoten) haben.

Answerlist

  • {x2}

  • { }

  • {x3}

  • {x4, x1}

  • {x3, x4}

Richtige Antwort ist: {x3, x4}

x3 muss auf jeden Fall kontrolliert werden, dadurch ist auch automatisch der Pfad über x1 geschlossen. Schaut man sich jetzt den Pfad über x2 und x4 an, dann sieht man das der Confounder x2 ist, jedoch gibt es diese Antwortmöglichkeit nicht. Wir wissen aber auch, dass es egal ist welche Zwischenvariable man auf einem Confounderpfad kontrolliert, solange man eine kontrolliert. Deswegen kann man auch x4kontrollieren, um diesen Pfad zu schließen.

11.4 Aufgabe 4

Gegeben sei der DAG g (s. u.). Der DAG verfügt über Variablen, die als Knoten im Graph dargestellt sind (mit \(x_1, x_2, \ldots x_n\) bezeichnet) und über Kanten verbunden sind.

Welche minimale Variablenmenge muss kontrolliert werden, um den kausalen Effekt von der UV zur AV zu identifizieren?

UV: x4.

AV: x6.

Hinweise:

  • Mengen sind mittels geschweifter Klammern gekennzeichnet, z.B. {x8, x9} meint die Menge mit den zwei Elementen x8 und x9.
  • Die leere Menge { } bedeutet, dass keine Variable kontrolliert werden muss, um den kausalen Effekt zu identifizieren.
  • Alle Variablen werden als gemessen vorausgesetzt.
  • Es ist möglich, dass es keine Lösung gibt, dass es also keine Adjustierungsmenge gibt, um den kausalen Effekt zu identifizieren. Wenn dies der Fall sein sollte, wählen Sie “keine Lösung”.
  • Es ist möglich, dass einzelne Variablen keine Kanten besitzen, also keine Verbindung zu anderen Variablen (Knoten) haben.

Answerlist

  • {x2}

  • { }

  • {x1}

  • {x4, x1}

  • {x1, x2}

Richtige Antwort ist: {x1}

x1 muss auf jeden Fall kontrolliert werden, denn alle Confounder-Pfade müssen zwangsläufig über x1 gehen. Alle Pfade, die über x5 haben an dieser Stelle eine Kollision, also dürfen wir hier nichts kontrollieren. Genauso haben wir einen Collider bei x3 wenn wir den Pfad von x4 über x2, x3, x1 zu x6 gehen.

11.5 Aufgabe 5

Gegeben sei der DAG g (s. u.). Der DAG verfügt über Variablen, die als Knoten im Graph dargestellt sind (mit \(x_1, x_2, \ldots x_n\) bezeichnet) und über Kanten verbunden sind.

Welche minimale Variablenmenge muss kontrolliert werden, um den kausalen Effekt von der UV zur AV zu identifizieren?

UV: x4.

AV: x6.

Hinweise:

  • Mengen sind mittels geschweifter Klammern gekennzeichnet, z.B. {x8, x9} meint die Menge mit den zwei Elementen x8 und x9.
  • Die leere Menge { } bedeutet, dass keine Variable kontrolliert werden muss, um den kausalen Effekt zu identifizieren.
  • Alle Variablen werden als gemessen vorausgesetzt.
  • Es ist möglich, dass es keine Lösung gibt, dass es also keine Adjustierungsmenge gibt, um den kausalen Effekt zu identifizieren. Wenn dies der Fall sein sollte, wählen Sie “keine Lösung”.
  • Es ist möglich, dass einzelne Variablen keine Kanten besitzen, also keine Verbindung zu anderen Variablen (Knoten) haben.

Answerlist

  • {x3}

  • { }

  • {x1}

  • {x4, x1}

  • {x1, x2}

Richtige Antwort ist: {x1}

x1 muss auf jeden Fall kontrolliert werden, denn alle Confounder-Pfade müssen zwangsläufig über x1 gehen. Alle Pfade, die über x5 haben an dieser Stelle eine Kollision, also dürfen wir hier nichts kontrollieren. Genauso haben wir einen Collider bei x3 wenn wir den Pfad von x4 über x2, x3, x1 zu x6 gehen.

Hinweis: Vorher gab es hier auch noch als Lösungsmöglichkeit {x2}, was auch richtig gewesen wäre. Man muss entweder {x2} oder {x1} kontrollieren, welches von beidem ist aber egal. Da man aber immer nur eine Antwortmöglichkeit in der Klausur ankreuzen kann, haben wir hier korrigiert, dass auch wirklich nur eine Antwort richtig ist.